תוכן עניינים

זוויות קטעים וישרים

זוויות וקטעים

  • סכום הזוויות מסביב לנקודה הוא 360°.
  • זוויות צמודות משלימות זו את זו ל- 180°.
  • סכום זוויות סמוכות שמשלימות זווית שטוחה הוא 180°.
  • השוקיים של זווית שטוחה יוצרות ישר אחד.
  • זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  • חיבור/חיסור זוויות
  • חיבור/חיסור זוויות שוות
  • הגדרה: חוצה זווית
  • כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית זו.
  • אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משני שוקי זווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית.
  • חיבור/חיסור קטעים
  • חיבור/חיסור קטעים שווים
  • הגדרה: נקודת אמצע
  • הגדרה: חוצה קטע
  • הגדרה: אנך אמצעי
  • כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.

ישרים מקבילים ומאונכים

  • הגדרה: ישרים מאונכים
  • הגדרה: ישרים מקבילים
  • המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא קבוע.
  • קטעים של ישרים מקבילים הם מקבילים.
  • אם שני ישרים מקבילים לישר שלישי אז הם מקבילים זה לזה.
  • שני ישרים המאונכים לישר שלישי הם מקבילים אחד לשני.
  • אנך לאחד משני ישרים מקבילים הוא מאונך גם לישר השני.
  • אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז סכום זוויות חד-צדדיות הוא 180°.
  • אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו.
  • אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו.
  • שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם סכום זוג זוויות חד-צדדיות הוא 180° אז שני הישרים מקבילים.
  • שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתאימות שוות אז שני הישרים מקבילים.
  • שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי. אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות, אז שני הישרים מקבילים.

משולשים

משולש כללי

  • סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
  • זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
  • במשולש (שאינו שווה זוויות), מול הזווית הגדולה יותר מונחת צלע גדולה יותר.
  • במשולש (שאינו שווה-צלעות), מול הצלע הגדולה יותר מונחת זווית גדולה יותר.
  • במשולש ישר-זווית, הזווית הישרה היא הגדולה.
  • במשולש ישר-זווית, היתר היא הצלע הגדולה.
  • במשולש קהה-זווית, הזווית הקהה היא הגדולה.
  • אי שיוויון המשולש: סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
  • הגדרה: גובה
  • הגדרה: תיכון

משפטי חפיפה ותכונות משולשים חופפים

  • משפט חפיפה לפי צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ)
  • משפט חפיפה לפי זווית-צלע-זווית (ז.צ.ז)
  • משפט חפיפה לפי צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ)
  • משפט חפיפה לפי שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מבין השתיים (צ.צ.ז.)
  • שני משולשים ישרי זווית שלהם ניצב שווה ויתר שווה חופפים זה לזה.
  • צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
  • זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
  • במשולשים חופפים, השטחים שווים זה לזה.
  • במשולשים חופפים, ההיקפים שווים זה לזה.
  • במשולשים חופפים, הגבהים המתאימים שווים זה לזה.
  • במשולשים חופפים, התיכונים המתאימים שווים זה לזה.
  • במשולשים חופפים, חוצי הזוויות המתאימים שווים זה לזה.

משולש שווה שוקיים

  • הגדרה: משולש שווה-שוקיים
  • זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים הן שוות.
  • משולש בו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים.
  • במשולש, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות.
  • במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.
  • במשולש שווה-שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים.
  • אם במשולש גובה הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה-שוקיים.
  • אם במשולש חוצה זווית הוא גובה, אז המשולש הוא שווה-שוקיים.
  • אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון, אז המשולש הוא שווה-שוקיים.

משולש שווה צלעות

  • הגדרה: משולש שווה-צלעות
  • משולש שווה-צלעות הוא שווה זוויות.
  • משולש שווה זוויות הוא שווה-צלעות.
  • במשולש שווה-צלעות, כל הזוויות שוות ל- 60°.
  • משולש שכל זוויותיו שוות 60° הוא שווה-צלעות.
  • משולש שווה-שוקיים עם זווית בת 60° הוא שווה-צלעות.

משולש ישר זווית

  • הגדרה: משולש ישר-זווית
  • משפט פיתגורס
  • המשפט ההפוך למשפט פיתגורס
  • במשולש ישר-זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
  • משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר-זווית.
  • אם במשולש ישר-זווית, זווית חדה של 30°, אז הניצב מול זווית זו שווה למחצית היתר.
  • אם במשולש ישר-זווית ניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה זווית שגודלה 30°.

שטח והיקף משולשים

  • שטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו.
  • תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
  • אם שני משולשים בעלי גובה משותף, היחס בין השטחים שווה ליחס בין הבסיסים.
  • שני משולשים בעלי בסיס משותף, שקודקודיהם נמצאים על ישר מקביל לבסיס, הם בעלי שטח שווה.
  • חיבור/חיסור שטחים
  • הגדרה: היקף

מרובעים

כללי

  • סכום הזוויות במרובע הוא 360°.

דלתון

  • הגדרה: דלתון (מרובע שבנוי משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף)
  • זוויות הצד בדלתון שוות זו לזו.
  • בדלתון, האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש.
  • בדלתון, האלכסון הראשי חוצה את המשני.
  • בדלתון, האלכסונים מאונכים זה לזה.
  • בדלתון, האלכסון הראשי הוא אנך אמצעי לאלכסון המשני.
  • מרובע שבו אלכסון חוצה אלכסון שני ומאונך לו, הוא דלתון.

מקבילית

  • הגדרה: מקבילית (מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו מקבילות זו לזו)
  • במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  • במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  • סכום זוויות סמוכות במקבילית הוא 180°.
  • במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
  • מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  • מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  • מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  • מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
  • הגדרה: גובה

מלבן

  • הגדרה: מלבן (מרובע בעל ארבע זוויות ישרות)
  • מרובע בעל שלוש זוויות ישרות הוא מלבן.
  • מרובע שכל זוויותיו שוות הוא מלבן.
  • במלבן, צלעות נגדיות הן מקבילות.
  • במלבן כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  • אלכסוני המלבן שווים וחוצים זה את זה.
  • אלכסוני המלבן שווים זה לזה.
  • האלכסונים במלבן חוצים זה את זה.
  • מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.
  • מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן.

מעוין

  • הגדרה: מעוין (מרובע בעל ארבע צלעות שוות)
  • במעוין, צלעות נגדיות הן מקבילות.
  • במעוין כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  • סכום זוויות סמוכות במעוין הוא 180°.
  • האלכסונים במעוין חוצים זה את זה.
  • במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה.
  • במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות.
  • אם במקבילית שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו אז היא מעוין.
  • מקבילית שבה אלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
  • מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

ריבוע

  • הגדרה: ריבוע (מרובע בעל ארבע צלעות שוות וארבע זוויות ישרות)
  • בריבוע, צלעות נגדיות הן מקבילות.
  • אלכסוני הריבוע שווים וחוצים זה את זה.
  • אלכסוני הריבוע שווים זה לזה.
  • האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה.
  • בריבוע האלכסונים חוצים את הזוויות.
  • בריבוע האלכסונים מאונכים זה לזה.
  • אם במלבן שתי צלעות סמוכות שוות זו לזו אז הוא ריבוע.
  • מלבן שבו אלכסון הוא חוצה זווית הוא ריבוע.
  • מלבן שבו האלכסונים מאונכים זה לזה הוא ריבוע.
  • מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע.
  • מעוין שבו האלכסונים שווים הוא ריבוע.

טרפז

  • הגדרה: טרפז (מרובע בעל זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות)
  • הגדרה: טרפז ישר-זווית
  • הגדרה: טרפז שווה-שוקיים
  • בטרפז שווה-שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  • בטרפז שווה-שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  • טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה-שוקיים.
  • טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה-שוקיים.
  • הגדרה: גובה

שטח והיקף מרובעים

  • שטח טרפז שווה למכפלת הגובה במחצית סכום הבסיסים.
  • שטח מקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובה לצלע זו.
  • שטח מלבן שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות.
  • שטח מעוין שווה למכפלת צלע המעוין בגובה לצלע זו.
  • שטח מעוין שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
  • שטח ריבוע שווה למכפלת הצלע בעצמה.
  • שטח ריבוע שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
  • שטח דלתון שווה למחצית מכפלת האלכסונים.
  • היקף המקבילית שווה לסכום אורכי צלעות סמוכות כפול 2.
  • היקף המלבן שווה לסכום אורכי צלעות סמוכות כפול 2.
  • היקף המעוין שווה לאורך הצלע כפול 4.
  • היקף הריבוע שווה לאורך הצלע כפול 4.
  • חיבור/חיסור שטחים
  • הגדרה: היקף

קטע אמצעים במשולש ובטרפז ומפגשי קטעים מיוחדים במשולש

קטע אמצעים במשולש

  • הגדרה: קטע אמצעים במשולש (חוצה שתי צלעות במשולש)
  • קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
  • ישר החוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שניה, חוצה את הצלע השלישית.
  • קטע שחוצה צלע אחת במשולש ומקביל לצלע שנייה הוא קטע אמצעים.
  • קטע שקצותיו על שתי צלעות משולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים.

קטע אמצעים בטרפז

  • הגדרה: קטע אמצעים בטרפז (חוצה את שתי שוקי הטרפז)
  • קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים.
  • קטע האמצעים בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים.
  • קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
  • בטרפז, ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, הוא קטע אמצעים בטרפז.
  • בטרפז, ישר החוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה את השוק השנייה.
  • קטע המחבר שתי שוקיים בטרפז, מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם הוא קטע אמצעים בטרפז.

מפגשי קטעים מיוחדים במשולש

  • הגדרה: נקודת מפגש
  • הגדרה: מפגש תיכונים
  • שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
  • נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1.
  • שלושת הגבהים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
  • הגדרה: מפגש חוצי הזוויות
  • שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת.
  • הגדרה: מפגש האנכים האמצעיים
  • במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת.

מעגלים

מעגל כללי

  • דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.
  • נקודה שנמצאת במרחק שווה משלוש נקודות שונות על המעגל היא נקודת מרכז המעגל.
  • הגדרה: רדיוס
  • הגדרה: קוטר
  • במעגל, כל הרדיוסים שווים.
  • במעגל, כל הקטרים שווים.
  • הרדיוס במעגל שווה למחצית הקוטר.
  • מרכז המעגל חוצה את הקוטר.
  • המרחק בין נקודה בתוך המעגל למרכז קטן מרדיוס המעגל.
  • המרחק בין נקודה מחוץ למעגל למרכז גדול מרדיוס המעגל.
  • סכום הקשתות במעגל הוא 360°.
  • קוטר מחלק את המעגל לשתי קשתות שוות.
  • הגדרה: אמצע קשת
  • הגדרה: חוצה קשת
  • חיבור/חיסור קשתות

זוויות מרכזיות מיתרים וקשתות

  • במעגל, לשתי קשתות שוות מתאימות שתי זוויות מרכזיות שוות.
  • במעגל, לשתי זוויות מרכזיות שוות מתאימות שתי קשתות שוות.
  • במעגל, לשתי זוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.
  • במעגל, לשני מיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
  • במעגל, לשני מיתרים שווים מתאימות שתי קשתות שוות.
  • במעגל, לשתי קשתות שוות מתאימים שני מיתרים שווים.
  • במעגל, גודל קשת שווה לגודל הזווית המרכזית המתאימה לה.

אנך ממרכז המעגל למיתר ואורך מיתר

  • האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר.
  • האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר.
  • האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את הקשת המתאימה למיתר.
  • קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.
  • האנך האמצעי למיתר עובר דרך מרכז המעגל.
  • מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.
  • מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
  • במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.
  • שני מיתרים במעגל שאינם שווים זה לזה, נמצאים במרחקים שונים ממרכז המעגל, כך שהמיתר הגדול יותר מבין השניים קרוב יותר למרכז המעגל.

זוויות היקפיות

  • במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.
  • במעגל, זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות זו לזו.
  • במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.
  • זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.
  • זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.
  • במעגל, לזוויות היקפיות שוות מתאימות קשתות שוות.
  • במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.
  • במעגל, לזוויות היקפיות שוות מיתרים שווים.
  • במעגל, למיתרים שווים מתאימות זוויות היקפיות חדות שוות.

משיק למעגל ושני משיקים למעגל

  • המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  • ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
  • אם קטע מאונך למשיק בנקודת ההשקה אז הוא עובר דרך מרכז המעגל.
  • שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  • קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.
  • זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

מעגל חוסם ומעגל חסום

  • הגדרה: מרכז המעגל החוסם
  • הגדרה: מרכז המעגל החסום
  • הגדרה: מעגל חסום במשולש
  • במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
  • שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
  • במשולשים חופפים, הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווים זה לזה.
  • במשולשים חופפים, הרדיוסים של המעגלים החסומים שווים זה לזה.
  • הגדרה: מרובע חוסם מעגל
  • הגדרה: מרובע חסום במעגל
  • במרובע חסום במעגל, סכום הזוויות הנגדיות הוא 180°.
  • אם במרובע סכום הזוויות הנגדיות הוא 180° אז ניתן לחסום אותו במעגל.
  • מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

שני מעגלים

  • קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
  • נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

דמיון ופרופורציה

משפטי תאלס

  • משפט תאלס
  • משפט תאלס המורחב
  • המשפט ההפוך למשפט תאלס
  • המשפט ההפוך למשפט תאלס המורחב

משפטי חוצה הזווית במשולש

  • משפט חוצה הזווית במשולש
  • המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית במשולש

דמיון משולשים

  • משפט דמיון לפי זווית-זווית (ז.ז.)
  • משפט דמיון לפי צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ)
  • משפט דמיון לפי צלע-צלע-צלע (צ.צ.צ)
  • במשולשים דומים, היחס בין צלעות מתאימות הוא קבוע.
  • זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות זו לזו.
  • במשולשים דומים, יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
  • במשולשים דומים, יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון.
  • במשולשים דומים, יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון.
  • במשולשים דומים, יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
  • במשולשים דומים, יחס הרדיוסים של המעגלים החוסמים שווה ליחס הדמיון.
  • במשולשים דומים, יחס הרדיוסים של המעגלים החסומים שווה ליחס הדמיון.
  • במשולשים דומים, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.

פרופורציות במשולש ישר זווית

  • במשולש ישר זווית, הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד מהם דומה למשולש המקורי.
  • הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר.
  • במשולש ישר זווית, הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר.

פרופורציות במעגל

  • אם במעגל שני מיתרים נחתכים, אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.
  • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
  • אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

כללי

נימוקים כללים

  • נתון
  • סימון
  • אלגברה / חישוב / הצבה
  • טרנזיטיביות (כלל המעבר)
  • חצאי גדלים שווים הם שווים ביניהם.
  • זווית שווה לעצמה / זווית משותפת
  • קטע שווה לעצמו / צלע משותפת
  • שטח שווה לעצמו / שטח משותף
  • קשת שווה לעצמה / קשת משותפת